350章
另一边,华国。
经过一夜的思考,困惑程诺终于对自己的毕业论文有了新的思路。
关于两个引理的运用,程诺有他自己独到的见解。
所以,这天白天的课一结束,程诺便匆匆赶到图书馆,随便挑了一个没人的位置,拿出纸笔,验证自己的想法。
既然将两个引理强加进 bertrand 假设的证明过程中这个方向行不通,那程诺想的是,能否根据这两个引理,得出几个推论,然后再应用到 bertrand 假设中。
这样的话,虽然拐了个弯,看似比切比雪夫的方法还要麻烦不少。但在真正的结果出来之前,谁也不敢百分百就这样说。
程诺觉得还是应该尝试一下。
工具早已备好,他沉吟了一阵,开始在草稿纸上做各种尝试。
他有不是上帝,并不能很明确的知晓通过引理得出来的推论究竟哪个有用,哪个没用。最稳妥的方法,就是一一尝试。
反正时间足够,程诺并不着急。
唰唰唰~~
低着头,他列下一行行算式。
【设 m 为满足 pm ≤ 2n 的最大自然数,则显然对于 i > m, floor(2n/pi)- 2floor(n/pi)= 0 - 0 = 0,求和止于 i = m,共计 m 项。由于 floor(2x)- 2floor(x)≤ 1,因此这 m 项中的每一项不是 0 就是 1……】
由上,得推论1:【设 n 为一自然数, p 为一素数,则能整除(2n)!/(n!n!)的 p 的最高幂次为: s =Σi≥1 [floor(2n/pi)- 2floor(n/pi)]。】
【因为 n ≥ 3 及 2n/3 < p ≤ n 表明 p2 > 2n,求和只有 i = 1 一项,即: s = floor(2n/p)- 2floor(n/p)。由于 2n/3 < p ≤ n 还表明 1 ≤ n/p < 3/2,因此 s = floor(2n/p)- 2floor(n/p)= 2 - 2 = 0。】
由此,得推论2:【设 n ≥ 3 为一自然数, p 为一素数, s 为能整除(2n)!/(n!n!)的 p 的最高幂次,则:(a) ps ≤ 2n;(b)若 p >√2n,则 s ≤ 1;(c)若 2n/3 < p ≤ n,则 s = 0。】
一行行,一列列。
除了上课,程诺一整天都泡在图书馆里。
等到晚上十点闭馆的时候,程诺才背着书包依依不舍的离开。
而在他手中拿着的草稿纸上,已经密密麻麻的列着十几个推论。
这是他劳动一天的成果。
明天程诺的工作,就是从这十几个推论中,寻找出对bertrand 假设证明工作有用的推论。
…………
一夜无话。
翌日,又是阳光明媚,春暖花开的一天。
日期是三月初,方教授给程诺的一个月假期还剩十多天的时间。
程诺又足够的时间去浪……哦,不,是去完善他的毕业论文。
论文的进度按照程诺规划的方案进行,这一天,他从推导出的十几个推论中寻找出证明 bertrand 假设有重要作用的五个推论。
结束了这忙碌的一天,第二天,程诺便马不停蹄的开始正式bertrand 假设的证明。
这可不是个轻松的工作。
程诺没有多大把握能一天的时间搞定。
可一句古话说的好,一鼓作气,再而衰,三而竭。如今势头正足,最好一天拿下。
这个时候,程诺不得不再次准备开启修仙**。
而修仙神器,“肾宝”,程诺也早已准备完毕。
肝吧,少年!
程诺右手碳素笔,左手肾宝,开始攻克最后一道难关。
切尔雪夫在证明bertrand 假设时,采取的方案是直接进行已知定理进行硬性推导,丝毫没有任何技巧性可言。
程诺当然不能这么做。
对于bertrand 假设,他准备使用反证法。
这是除了直接推导证明法之外最常用的证明方法,面对许多猜想时非常重要。
尤其是……在证明某个猜想不成立时!
但程诺现在当时不是要寻找反例,证明bertrand 假设不成立。
切尔雪夫已然证明这一假设的成立,使用反证法,无非是将证明步骤进行简化。
程诺自信满满。
第一步,用反证法,假设命题不成立,即存在某个 n ≥ 2,在 n 与 2n 之间没有素数。
第二步,将(2n)!/(n!n!)的分解(2n)!/(n!n!)=Π ps(p)(s(p)为质因子 p 的幂次。
第三步,由推论5知 p < 2n,由反证法假设知 p ≤ n,再由推论3知 p ≤ 2n/3,因此(2n)!/(n!n!)=Πp≤2n/3 ps(p)。
………………
第七步,利用推论8可得:(2n)!/(n!n!)≤Πp≤√2n ps(p)·Π√2n<p≤2n/3 p ≤Πp≤√2n ps(p)·Πp≤2n/3 p!
思路畅通,程诺一路写下来,不见任何阻力,一个小时左右便完成一半多的证明步骤。
连程诺本人,都惊讶了好一阵。
原来我现在,不知不觉间已经这么厉害了啊!!!
程诺叉腰得意一会儿。
随后,便是低头继续苦逼的列着证明公式。
第八步,由于乘积中的第一组的被乘因子数目为√2n 以内的素数数目,即不多于√2n/2 - 1 (因偶数及 1 不是素数)……由此得到:(2n)!/(n!n!)<(2n)√2n/2-1 · 42n/3。
第九步,(2n)!/(n!n!)是(1+1)2n 展开式中最大的一项,而该展开式共有 2n 项(我们将首末两项 1 合并为 2),因此(2n)!/(n!n!)≥ 22n / 2n = 4n / 2n。两端取对数并进一步化简可得:√2n ln4 < 3 ln(2n)。
下面,就是最后一步。
由于幂函数√2n 随 n 的增长速度远快于对数函数 ln(2n),因此上式对于足够大的 n 显然不可能成立。
至此,可说明, bertrand 假设成立。
论文的草稿部分,算是正式完工。
而且完工的时间,比程诺预想的要早了整整一半时间。
这样的话,还能趁热的将毕业论文的文档版给搞出来。
搞!搞!搞!
啪啪啪~~
程诺手指敲击着键盘,四个多小时后,毕业论文正式完稿。
程诺又随手做了一份ppt,毕业答辩时会用到。
至于答辩的腹稿,程诺并没有准备这个东西。
反正到时候兵来将挡,水来土掩就是。
要是以哥的水平,连一个毕业答辩都过不了,那还不如直接找块豆腐撞死算了。
哦,对了,还有一件事。
程诺一拍脑袋,仿佛记起了什么。
在网上搜索一阵,程诺将论文转换为英文的pdf格式,打包投给了位于德古国的一家学术期刊:《数学通讯符号》。
sci期刊之一,位列一区。
影响因子5.21,即便在一区的诸多著名学术杂志中,都属于中等偏上的水平。
……………………
ps:《爱情公寓》,哎~~
(